Entre os muitos mistérios da matemática, os números Dedekind, descobertos no século 19 pelo matemático alemão Richard Dedekind, capturaram a imaginação e curiosidade de pesquisadores ao longo dos anos.
Até recentemente, eram conhecidos até apenas o oitavo número Dedekind, desvendado somente em 1991. Mas agora, em uma surpreendente reviravolta, dois grupos de pesquisa independentes da Universidade Católica de Leuven, na Bélgica, e da Universidade de Paderborn, na Alemanha, conseguiram o impensável e solucionaram o problema matemático.
Ambos os estudos foram submetidos ao servidor de pré-impressão arXiv: o primeiro em 5 de abril e o segundo em 6 de abril. Apesar de ainda não terem sido revisados por pares, os dois grupos de pesquisa chegaram à mesma conclusão – indicando que o nono número de Dedekind foi finalmente decifrado.
O nono número de Dedekind ou D(9)
O valor para o nono número de Dedekind foi calculado em 286.386.577.668.298.411.128.469.151.667.598.498.812.366. O D(9) possui 42 dígitos em comparação com os 23 dígitos do D(8).
Cada número Dedekind representa o número de configurações possíveis de um certo tipo de operação lógica verdadeiro-falso em diferentes dimensões espaciais. O primeiro número na sequência, o D(0), representa a dimensão zero. Assim, o D(9), que representa nove dimensões, é o décimo número na sequência.
O conceito dos números de Dedekind é de difícil compreensão para quem não gosta de matemática. Seus cálculos são extremamente complexos, pois os números dessa sequência aumentam exponencialmente a cada nova dimensão. Isso significa que ficam cada vez mais difíceis de definir, além de ficarem sempre maiores – por isso, o valor de D(9) foi considerado por muito tempo impossível de se calcular.
“Por 32 anos, o cálculo do D(9) foi um desafio em aberto, e era questionável se algum dia seria possível calcular esse número”, afirma o cientista da computação Lennart Van Hirtum, da Universidade de Paderborn, autor de um dos estudos.
Os números Dedekind são uma série de número inteiros em rápido crescimento. Sua lógica é baseada em “funções booleanas monótonas” (MBFs), que selecionam uma saída baseada em entradas que consistem em apenas dois estados (binários) possíveis, como verdadeiro e falso, ou 0 e 1.
As funções booleanas monótonas restringem a lógica de tal maneira que mudar um 0 para um 1 em apenas uma entrada provoca a mudança na saída de 0 para 1, e não de 1 para 0. Para ilustrar esse conceito, os pesquisadores usam as cores vermelho e branco, em vez de 1 e 0, embora a ideia subjacente seja a mesma.
“Basicamente se pode pensar numa função booleana monótona em duas, três e infinitas dimensões, como um jogo com um cubo de n dimensões. Equilibra-se o cubo num cabo e depois pinta cada um dos cantos restantes de branco e vermelho”, explica Van Hirtum.
“Só existe uma regra: nunca se deve colocar um canto branco em cima de um vermelho. Isso cria uma espécie de interseção vertical vermelho-branco. O objeto do jogo é descobrir quantas seções existem.”
Assim, o número Dedekind representa o número máximo possível de intersecções que podem ocorrer em um cubo de n dimensões que satisfaça a regra. Neste caso, as n dimensões do cubo correspondem ao enésimo número Dedekind.
Por exemplo, o oitavo número Dedekind tem 23 dígitos, que é o número máximo de seções diferentes que podem ser feitas em um cubo de oito dimensões satisfazendo a regra.
Em 1991, um supercomputador Cray-2 (um dos mais poderosos da época, mas menos poderoso que um smartphone moderno) e o matemático Doug Wiedemann levaram 200 horas para calcular o D(8).
O D(9) teve quase o dobro de dígitos e foi calculado com o supercomputador Noctua 2, na Universidade de Paderborn. Esse supercomputador tem capacidade de realizar vários cálculos em paralelo.
Dada a complexidade computacional para calcular o D(9), a equipe utilizou uma fórmula do coeficiente P desenvolvida pelo orientador da dissertação de Van Hirtum, Patrick de Causmaecker. O procedimento do coeficiente P permitiu o cálculo do D(9) usando uma grande soma em vez de contar cada termo da série.
“No nosso caso, aproveitando as simetrias da fórmula, conseguimos reduzir o número de termos para apenas 5,5*10^18, uma enorme quantidade. Em comparação, o número de grãos de areia da Terra equivale a 7,5*10^18, o que não é para se desprezar, mas para um supercomputador essa operação é bastante gerenciável”, afirma Van Hirtum.
O pesquisador, porém, acredita que o cálculo do décimo Dedekind exigirá um computador ainda mais moderno do que os existentes atualmente.
“Se calculássemos agora, era necessário um poder de processamento igual à potência total do Sol”, disse Van Hirtum ao portal Live Science. Isso torna o cálculo “praticamente impossível”, acrescentou.
Richard Dedekind descobriu sequência numérica no século 19. — Foto: Wikimedia Commons
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